PHP中的最小生成树算法详解
最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一种重要概念，用来解决连通图最小权重边的选择问题。在PHP语言中，我们可以通过一些经典的最小生成树算法来实现这个功能。本文将详细介绍两种常用的最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法，并给出相应的PHP代码示例。
一、Prim算法
Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步扩展生成最小生成树。具体过程如下：
- 选择一个起始顶点，将其加入已选择的集合。
- 从与当前已选择的顶点集合相邻的顶点中，选择权重最小的边，并加入已选择的边集合。
- 将该边所连接的顶点也加入已选择的顶点集合。
- 重复步骤2和3，直到所有的顶点都被加入已选择的集合。
- 最终得到的边集合就是最小生成树。
下面是用PHP实现Prim算法的代码示例：
function prim($graph) {
$numVertices = count($graph);
$selected = array_fill(0, $numVertices, false); // 记录已选择的顶点
$parent = array_fill(0, $numVertices, -1); // 记录最小生成树的父节点
$selected[0] = true; // 从第一个顶点开始
$minWeight = 0;
for ($i = 0; $i < $numVertices - 1; $i++) {
$minKey = -1;
$minVal = PHP_INT_MAX;
for ($j = 0; $j < $numVertices; $j++) {
if ($selected[$j] == false && $graph[$i][$j] < $minVal) {
$minKey = $j;
$minVal = $graph[$i][$j];
}
}
$selected[$minKey] = true;
$parent[$minKey] = $i;
$minWeight += $minVal;
}
return $minWeight;
}二、Kruskal算法
Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，它首先对所有边按权重从小到大进行排序，然后逐个加入生成树中，如果加入的边不形成环路，则加入最小生成树的边集合中。具体步骤如下：
- 对所有边按权重从小到大进行排序。
- 从权重最小的边开始，逐个加入生成树的边集合中。
- 如果加入的边不形成环路，则将该边加入最小生成树。
- 重复步骤2和3，直到生成树的边数等于顶点数减一。
- 最终得到的边集合就是最小生成树。
下面是用PHP实现Kruskal算法的代码示例：
function find($parent, $i) {
if ($parent[$i] == -1) {
return $i;
}
return find($parent, $parent[$i]);
}
function union($parent, $x, $y) {
$xSet = find($parent, $x);
$ySet = find($parent, $y);
$parent[$xSet] = $ySet;
}
function kruskal($edges, $numVertices) {
$parent = array_fill(0, $numVertices, -1);
$minWeight = 0;
usort($edges, function ($a, $b) {
return $a['weight'] - $b['weight'];
});
$e = 0; // 记录生成树的边数
$i = 0;
while ($e < $numVertices - 1) {
$nextEdge = $edges[$i++];
$x = find($parent, $nextEdge['src']);
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